Limite d'une fonction composée

Théorème (admis)

Sous réserve d’existence des limites ,  \(\alpha,\ \beta\) et  \(\gamma\) pouvant être remplacés par \(+\infty\) ,  \(-\infty\)  ou un réel, si \(\lim\limits_{\color{green}{x \to \alpha}}u(x)=\color{red}\beta\)  et  \(\lim\limits_{\color{red}{X \to \beta}}v(X)=\color{blue}{\gamma}\) , alors  \(\lim\limits_{\color{green}{x \to \alpha}}v(u(x))=\color{blue}{\gamma}\) .

Remarque

La fonction \(x \mapsto v(u(x))\)  est appelée composée de \(u\)  par \(v\) . Cette notion sera étudiée dans un autre chapitre.

Exemples

• \(\lim\limits_{\color{green}{x \to +\infty}}\left(4+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\color{red}{4}\)  et \(\lim\limits_{\color{red}{X \to 4}}\sqrt{X}=\sqrt{4}=\color{blue}2\)  donc par composée \(\lim\limits_{\color{green}{x \to +\infty}}\sqrt{4+\displaystyle\frac{1}{x}}=\color{blue}2\) .
  
• \(\lim\limits_{\color{green}{x \to 0}}\left(2-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=\color{red}{-\infty}\)  et \(\lim\limits_{\color{red}{X \to -\infty}}X^4=\color{blue}{+\infty}\)  donc par composée \(\) \(\lim\limits_{\color{green}{x \to 0}}\left( 2- \displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^4=\color{blue}{+\infty}\) .